Question

Fie f: (0,1)→ R, f(x) = x lnx + (1-x) ln(1-x)
b) Arătaţi că feste convexă pe (0,1)
ajutati ma va rog la exercitu acesta ca mi a picat la simulare si nu am stiut sa l fac

​

Answer 1

Răspuns:

folosesti derivata a doua,obtii o expresie  POZITIVA, deci functia va fi CONVEXA

Explicație pas cu pas:

m-ar fi ajuta punctul a) inj care derivat 1 probabil se dadea

studiem extensia la (0; infinit)

f'(x) =lnx+1+(-1)ln(1-x)+ (1-x) *(-1)/(1-x)=

lnx+1-ln(1-x)-1= lnx-ln(1-x)

f'(x) =(f'(x))'=1/x- (-1)/(1-x) =1/x+1/(1-x)

x∈(0,1) deci 1/x>0 si 1-x>0 deci si 1/(1-x) >0

o suma de 2 functii cu valori pozitive va fi pozitiva, deci, f"(x) >0 , ∀x∈(0,1), deci f(x) CONVEXA

altfel,

aducem la ac.numitor

f"(x) =(1-x+x)/x(1-x)= 1/x(1-x)

cum x>0 si 1-x>0, f"(x) >0 , ∀x∈(0,1)

deci f(x) CONVEXA

Alfel

numitorul, x-x²= -x²+x, functie de grad2 cu a=-1, intre radacinile 0 si 1, are semn contrat lui a, adica +