Question

Fie f: (0,∞) ->R. f(x)=ln($\frac{x+1}{x}$)
Aratati ca f este strict descrescatoare

Answer 1

f'(x)=(ln(x+1)-lnx)'=1/x+1-1/x=x/x(x+1)-(x+1)/x(x+1)=(x-x-1)/x(x+1)=-1/x(x+1)

b)  

f'(x)=-1/x(x+1)<0 oricare ar fi x din (0;infinit) => f descrescatoare pe domeniul de definitie.

Answer 2

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

Cerem ajutor de la derivata, deoarece cu ajutorul ei se determina monotonia functiei.

$f'(x)=(ln\frac{x+1}{x} )'=\frac{1}{\frac{x+1}{x} }*(\frac{x+1}{x})'=\frac{x}{x+1} *\frac{(x+1)'*x-(x+1)*x'}{x^{2}}= \frac{x}{x+1}*\frac{1*x-(x+1)*1}{x^{2}} =\frac{x}{x+1}*\frac{x-x-1}{x^{2}}=\frac{x}{x+1}*\frac{-1}{x^{2}}=-\frac{1}{(x+1)*x} <0$

Deoarece x∈(0;+∞), ⇒x(x+1)>0 si deci f'(x)<0, iar daca derivata este negativa pentru orice x din domeniul de definitie, ⇒ f este strict descrescatoare p domeniul ei de definitie.