Question

Fie f:(0,infinit) cu valori in R. f(x)=radical din x(ln x-2). Sa se arate ca f(x)=0 are cel.putin o solutie in intervalul (1,e^3).​

Answer 1

Răspuns:

$x = e^2$

Explicație pas cu pas:

$f(x) = 0 \iff \sqrt{x}(\ln{x} - 2) = 0\\\textrm{Produs = 0, inseamna ca unul dintre factori este 0.}\\(1) \sqrt{x} = 0\Rightarrow x = 0\\(2) \ln{x} - 2 = 0\Rightarrow \ln{x} = 2\Rightarrow \ln{x} = \ln{(e^2)}\Rightarrow \boxed{x = e^2}\\\textrm{Solutia din intervalul (1, e^3) este e^2.}$

Answer 2

f continuea pe Dmax (operatii cu functii elementare)=>f continua si pe I=(1;e³)

f(1)=√1(ln(1)-2)=1(0-2)=-2<0

f(e³)=√e³(lne³-2)=e√e(3-2)=e√e>0

f(1)*f(e³)=-2*e√e=>f(1)*f(e³)<0 (1)

f continua pe I (2)

Din (1) si (2) =>(teorema lui Cauchy-Bolzano):∃x₀∈(1;e³) astfel incat f(x)=0=> ecuatia f(x)=0 are cel putin o solutie pe (1;e³)