Question

Fie f:(1,infinit)->R,f(x)=(2x+5)/(x+1)
Sa se arate ca f este descrescatoare pe (1,infinit)​

Answer 1

Explicație pas cu pas:

$f'(x)=\dfrac{2(x+1)-(2x+5)}{(x+1)^2}=\dfrac{-3}{(x+1)^2}$

Denominatorul este pozitiv pentru fiecare $x>1$.

De aici $\big(\forall x>1 \quad f'(x)<0\big)\implies f$ descrescătoare în intervalul $\left(1,+\infty) \hfill{\boxdot}$

Answer 2

Pt. a arăta că o funcție este crescătoare / descrescătoare pe un interval, facem tabel cu prima derivată (și cu funcția sub ea). După ce calculăm prima derivată, rezolvăm ecuația f'(x) = 0. În cazul nostru, această ecuație nu are soluții. Facem tabelul, îl completăm. Sub 1 am pus bară deoarece avem interval deschis și funcția nu se poate calcula în valoarea 1. Am luat o valoare din intervalul (1, inf), pe 4, și observăm că pt. orice valoare este negativă. Punem săgeata în jos pe linia lui f (eventual poți calcula și limitele la inf și la 1, cu x>1).