Question

Fie f:D->R, f(x) = $\frac{ \sqrt{ x^{4}+1 } }{ x^{2}-4x+m }$
Aflati m daca x=3 este asimptota verticala a functiei

Answer 1

Daca $\lim_{x \to \ a} f(x) =$, + sau -∞, atunci x+a este asimptota vecticala a functiei , in cazul de fata $\lim_{x \to \ 3} \frac{ \sqrt{x^4+1} }{x^2-4x+m}= \frac{ \sqrt{82} }{-3+m}$ = ∞ daca numitorul se anuleaza , adica pentru m=3

Answer 2

Stim ca asimptotele verticale sunt in punctele care se anuleaza.
Noi avem la numitor o functie de gradul II. Ecuatia aceasta trebuie sa fie diferita de 0.

Daca x=3 este asimptota verticala a functiei inseamna ca x=3 este solutia ecuatiei de la numitor, adica avem un x≠3, iar D va fi R\{3;..}. Pot fi si mai multe solutii, important este ca stim ca una din ele este 3:
Inseamna ca:
Notand  g(x)=$x^{2} -4x+m$ ; Daca il inlocuim pe 3 in numitor, trebuie neaparat sa ne dea 0;
Deci calculam: g(3) = 0 =>
 $3^{2} -4*3+m = 0 \\ 9-12+m = 0 \\ m = 3$

Facem o verificare:
$x^{2} -4x+3 = 0$
Δ=16-12 = 4
=> $x_{1,2} = \frac{4+-2}{2}$
Vedem ca un $x_{1} = \frac{6}{2} =3$

=>m=3, solutia problemei.