Question

Fie f,g:{-2,2,-1,1} -> R
f(x)=$x {}^{4} - 5x {}^{2} + 4$
g(x)=$x ^{5} + 3x^{4} - 5x^{3} - 15 {x}^{2} + 4 {x} + 12$
Demonstrați că f=g.
​

Answer 1

Răspuns:

Se demonstrează egalitatea f(x) = g(x) pentru toate cele 4 valori ale domeniului de definiție.

Explicație pas cu pas:

Pentru a demonstra că cele două funcții sunt egale, calculăm f(x) și g(x) pentru toate cele 4 elemente ale domeniului de definiție, iar f(x) trebuie să fie egală cu g(x).

f(-2) = (-2)⁴ - 5(-2)² + 4 = 16 - 20 + 4 = 0

g(-2) = (-2)⁵ + 3(-2)⁴ - 5(-2)³ - 15(-2)² + 4(-2) + 12 = -32+48+40-60-8+12 = 0

f(-2) = g(-2) = 0 (1)

f(2) = 2⁴ - 5(2)² + 4 = 16 - 20 + 4 = 0

g(2) = 2⁵ + 3(2)⁴ - 5(2)³ - 15(2)² + 4×2 + 12 = 32+48-40-60+8+12 = 0

f(2) = g(2) = 0 (2)

f(-1) = (-1)⁴ - 5(-1)² + 4 = 1 - 5 + 4 = 0

g(-1) = (-1)⁵ + 3(-1)⁴ - 5(-1)³ - 15(-1)² + 4(-1) + 12 = -1+3+5-15-4+12 = 0

f(-1) = g(-1) = 0 (3)

f(1) = 1⁴ - 5(1)² + 4 = 1 - 5 + 4 = 0

g(1) = 1⁵ + 3(1)⁴ - 5(1)³ - 15(1)² + 4(1) + 12 = 1+3-5-15+4+12 = 0

f(1) = g(1) = 0 (4)

Din egalitățile (1), (2), (3) și (4) ⇒ f = g pentru orice x ∈ {-2, 2, -1, 1}