Question

Fie f:N*->[0,1)nQ si f(n)={1+1/2+1/3+..+1/n}>0
Dem ca este injectiva

Answer 1

Vom demonstra ca functia este strict crescatoare:

Vom face diferenta dintre doi termeni consecutivi:
[tex]D=f(n+1)-f(n)=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}-(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n})=\\\\ =\frac{1}{n+1}\ \textgreater \ 0\rightarrow f(n+1)\ \textgreater \ f(n)\ ,\ \forall\ n\in N^* \rightarrow \text{f este strict crescatoare}[/tex]

Daca este strict crescatoare, atunci pentru orice n1, n2 ∈ N*, daca n1 ≠ n2 ==> f(n1) ≠ f(n2) ==> f este injectiva