Question

Fie f:R->R, cu f(x) pe ramuri asa: f(x)={xˆ2+2mx-1 , x<=0 si mx-1, x>0. Determinati m din R stelat daca f e injectiva.

Answer 1

Mai  intai  observi ca  pt  x≤0,  f(x)  este  o jumatate  de  parabola  ca  in  figura  atasata,si  pt  x>0  Gf  este  semidreapta  (AB.
Pt  ca  functia  sa  fie  injectiva  cele  2  aripi  nu  vor  avea  nici  un  punct  comun.
Pt  aceasta determini  minimul  parabolei,  si  pui  conditia  ca  acesta  sa  fie  strict  mai  mare  decat  mx-1
-b/(2a)=-(2m/2)=-m
f(-m)=-m²-1
Deci  A  punctul  de  minim  este  (-m; -m²-1)
pui  conditia  ca  -m²-1>mx-1∀x
Pt  aceasta  e  necesar ca  m<0, pt  ca  in acest caz mx<0  si  mx-1<-1<
Deci  pt  m<0  f(x) este  injecrtiva  pe  tot  domeniul  de  definitie