Question

Fie f:R->R, f (x)=3x+1. Să se arate ca f are proprietatea lui Darboux pe intervalele I1= (-2,2) si I2= [0,3]. Exista intervale pe care f nu are proprietatea lui Darboux ?

Answer 1

O  functie are  proprietatea Darboux  daca  transforma  un  interval  in alt  interval.
f(-2)=3*(-2)+1=-5
f(2)=3*2+1=7
Presupunem  ca  f  nu  are   proprietate Darboux.Atunci  exista  y1∈(-5,7)
a.i f(x)≠y1  ∀x∈(-2,22)  Fals  deorece  functia   de  grd   1  este   surjectiva   deci   ecuatia  f(x)=y1  admite  solutii Deci  f((-2,2)=(-7,-5) f are  proprietatea Darboux
Analog  pt  I2
f(0)=1  f(3)=10 Presupunem  ca f nu  are   proprietatea  Darboux.Atunci   exista y2∈[1,10]  a.i  f(x)≠y2
Dar f  este   o   functie  de  grd  1 deci f  este   surjectiva, deci  ecuatia  f(x)=y2   admite  solutii deci  f  are   prop Darboux
b)  fie  [a,b]⊂R Presupunem  ca   pe   acest   interval f  nu   are  prop  Darboux=>
E yo∈[f(a),f(b)]  a.i  f(x)≠yo.Imposibil Functia  f  este   surjectiva   pe R  deci  ecuatia f(x)=yo  admirte  cel putin o  solutie.Deci  f  Are   prop  Darboux  pe  ∀[a,b].Nu  exista
nici  un  interval  pe R  a.i  functia  sa   nu  mai   aiba   prop  Darboux