Question

Fie f:R⇒R care verifica conditia | f(x) - x² | ≤ 2 |x| , x∈R. Sa se arate ca f nu este monotona.

Answer 1

Pentru x=0 avem $|f(0)|\le 0\Rightarrow f(0)=0$
Pentru x=-2 avem
$|f(-2)-4|\le 4\Leftrightarrow -4\le f(-2)-4\le 4\Leftrightarrow 0\le f(-2)\le 8$
Analog, pentru x=2 avem $0\le f(2)\le 8$
Deci $-2<0<2\Rightarrow f(-2)\ge f(0)\le f(2)$

Obs. Cred că în enunț mai trebuia precizat că funcția nu este constantă.
De exemplu dacă $f(x)=0, \ \forall x\in\mathbb{R}$ inegalitatea din enunț se verifică și pentru o funcție constantă se verifică definiția funcției monotone (nestrict).
O funcție constantă poate fi considerată și monoton crescătoare și monoton descrescătoare.