Question

Fie f:R-R, f(x) =3x+4. Să se determine g:R-R, dacă (f•g•f^-1)(x)=3/2x+1,x aparține lui R. URGENT!!! ​

Answer 1

Răspuns:

$g(x)=\frac{3}{2} x+1$

Explicație pas cu pas:

$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=3x+4$

Studiem injectivitatea:

$f(x_1)=f(x_2) \iff 3x_1+4=3x_2+4\\3x_1=3x_2\\x_1=x_2\\f(x_1)=f(x_2) \implies x_1=x_2$

Deci $f$ este injectivă. (1)

$\forall y \in \mathbb{R}, \exists x \in \mathbb{R} \ a.i. \ y=f(x)\\\implies y=3x+4\\y-4=3x\\\frac{y-4}{3} =x \in \mathbb{R}$

$f$ este surjectivă. (2)

Din (1), (2) ⇒ $f$ este bijectivă, deci inversabilă și există

$f^{-1} :\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, f^{-1}(x)=\frac{x-4}{3}$

Considerăm $g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}, g(x)=ax+b, a,b \in \mathbb{R}$

Compunerea funcțiilor este asociativă.

$(f\circ g\circ f^{-1})(x)=\frac{3}{2} x+1, x\in \mathbb{R}$

$((f\circ g)\circ f^{-1})(x)=\frac{3}{2} x+1$

$(f\circ g)(x)=f(g(x))=f(ax+b)=3(ax+b)+4=3ax+3b+4=h(x)$

$(h\circ f^{-1})(x)=h(f^{-1}(x))=h(\frac{x-4}{3}})=3a\cdot\frac{x-4}{3} +3b+4=ax-4a+3b+4$

$ax-4a+3b+4=\frac{3}{2} x+1$

$a=\frac{3}{2} \\-4a+3b+4=1\\-6+3b+4=1\\b=1$

$g(x)=\frac{3}{2} x+1$