Question

Fie f: R→ R o funcție monotonă și periodică. Să se demonstreze că f este funcție constantă.​

Answer 1

Presupun prin reducere la absurd ca ar exista o funcție cu proprietatea de mai sus și sa nu fie constanta.

Fiind monotona ar rezulta ca pentru orice x1 și x2 din R, cu x1<x2, f(x1) >=f(x2) sau f(x1) =<f(x2)

Fiind periodica ar rezulta ca exista un t>0 perioada principala astfel încât f(x) =f(x+t), pentru orice x din R

Cum x+t>x, din monotonie avem f(x+t) >=f(x) sau f(x+t) =<f(x), iar cu periodicitatea obținem, luand convenient x1=x și x2=x+t, ca f(x1) =f(x2) pentru orice x1<x2 din R deci f este constanta (contradicție)

Afirmația de mai sus a fost falsa, înseamnă că orice funcție monotona si periodica este constanta.