Question

Fie f ∈ R[X], f = X^100 + aX^99 + bX + 1. Valorile coeficientilor a si b pentru care f se divide cu X^2+X+1 sunt?

Answer 1

Răspuns:

a=b=-1

Explicație pas cu pas:

inseamna ca xadimte ca radacini radacinile lui X^2+X+1

care sunt α si α, radacinile cubice complexe ale lui 1

din dezvoltarea x³=1, x³-1=0, (x-1)(x²+x+1)=0

care admite deci radacile 1 reala si cele 2 complexe nereale, care se pot calcula rapid cu Δ si sunt notate conventional α si, respectiv, α

care au proprietatile, presupus cunoscute

α*(3k=1

α^(3k+1)=α

α^(3k+2)=α

verificare

die α=(-1/2+i√3/2)

atunci

α²=(-1/2+i√3/2)²=1/4-3/4-2i√3/4=-1/2-i√3/2= α

atunci

P(α)=0=P(α)

α^100+aα^99+bα+1=0

α+a+bα+1=0

-1/2+i√3/2+a-b/2+b√3/2 i+1=0

-1/2+a-b/2+1 +(√3/2) * (1+b) i=0=0+0i

-1/2+a-b/2+1=0

b+1=0

a-b/2+1/2=0

b+1=0

din a doua ecuatie,

b=-1

inrodus in prima

a=1/2+1/2=0

a=-1