Question

Fie f(x)=√ de ordin 3 din (2x-1)- √ de ordin 3 din 2x+1. Calculaţi limită (n- >infinit ) din {[f(1)+f(2)+...+f(n)] /(-√de ordin 3 din 2n+1)}^√de ordin 3 din 2n.

Answer 1

Calculăm mai întâi numărătorul fracției, și obținem:
$f(1)+f(2)+...+f(n)=$

$=\sqrt[3]{1}-\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{5}+...+\sqrt[3]{2n-1}-\sqrt[3]{2n+1}=1-\sqrt[3]{2n+1}$

Înlocuim în limita cerută, ajungem la cazul $1^\infty$și îl tratăm cu artificiul de calcul cunoscut pentru a folosi limita celebră:
 $\lim_{n \to \infty}(1+a_n)^{\dfrac{1}{a_n}}=e,\ unde\ a_n\rightarrow0\ cand\ n\rightarrow \infty$

Deci calculele: (notez cu L limita ceruta)

$L=lim\left(1+\dfrac{-1}{\sqrt[3]{2n+1}}\right)^{\sqrt[3]{2n}}=$

$=lim\left(\left(\left(1+\dfrac{-1}{\sqrt[3]{2n+1}}\right)^{-\sqrt[3]{2n+1}}\right)^\dfrac{-1}{\sqrt[3]{2n+1}}}\right)^{\sqrt[3]{2n}}=$

$=e^{lim\dfrac{-\sqrt[3]{2n}}{\sqrt[3]{2n+1}}}=e^{-1}=\dfrac1e$