Question

Fie familia de functii de gr. al 2lea:
fm(x)=mx²+2(m+1)x+m-1
i) Sa se arate ca varfurile parabolelor asociate acestor functii se gsesc pe dreapta y=x-2.
ii)C portiune din aceasta dreapta cuprinde varfurile parabolelor cu ramurile in sus?
  


Sa  se rezolve ecutaia:
$\left[\begin{array}{ccc}\\ \frac{ x^{2}-3x+1 }{3} \\\end{array}\right]= \frac{x-1}{3}$



Sa se determine valorile lui a ai. sistemul :
$\left \{ {{ x^{2} + y^2=z } \atop {x+y+z=a}} \right.$
 sa aiba sol reala unica.

Answer 1

Este enorm de mult de scris. Sper sa incapa aici.
Primul exercitiu:
i)
$x_V=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{m+1}{m}$

$y_V=-\dfrac{\Delta}{4a}=-\dfrac{4(m+1)^2-4m(m-1)}{4m}=-\dfrac{3m+1}{m}$

$x_V-2=-\dfrac{m+1}{m}-2=-\dfrac{3m+1}{m}=y_V\Rightarrow V(x_V;y_V)$ este pe dreapta y=x-2
ii) Trebuie ca m>0⇒ facand tabelul cu semnul pentru $x_V$, constatam ca pentru m>o, $x_V$<0. deci raspuns> Portiunea din dreapta din stanga axei Oy.

Exercitiul 2.

$\dfrac{x-1}{3}=n\in\mathbb Z\Rightarrow x=3n+1\Rightarrow \left[\dfrac{(3n+1)^2-3(3n+1)+1}{3}\right]=n$

$n\leq\dfrac{9n^2+6n+1-9n-3+1}{3} [tex]3n\leq9n^2-3n-1<3n+3$

$0\leq9n^2-6n-1<3$  De aici cred ca poti continua sa afli pe n (rezolvi separat cele doua inecuatii, gasesti un interval, iei numerele naturale din acel interval si apoi gasesti valorile lui x din relatia de mai sus:  x=3n+1.

Exercitiul 3

Notam ca de obicei x+y=S si xy=P
Avem:
S²-2P=z
S=a-z.  Inlocuim valoarea lui S in randul precedent
a²-2az+z²-2P=z
z²-z(2a+1)+a²-2P=0 Deoarece se cere ca sistemul sa aiba solutie unica, rezulta ca aceasta ecuatie cu necunoscuta z trebuie sa aiba discriminantul nul. Deci:
$\Delta=0\Rightarrow (2a+1)^2-4(a^2-2p)=0$

$4a^2+4a+1-4a^2+8p=0\Rightarrow p=-\dfrac{4a+1}{8};\ z=\dfrac{2a+1}{2}$

$S=a-\dfrac{2a+1}{2}=-\dfrac12$

x si y vor fi solutiile ecuatiiei

$t^2-St+P=0$

$t^2+\dfrac t2-\dfrac{4a+1}{8}=0$

$8t^2+4t-(4a+1)=0$

Pentru ca x si y trebuie sa fie unici, trebuie ca si aceasta ecuatie sa aiba discriminantul nul, adica

$\Delta=0\Rightarrow16+32(4a+1)=0\Rightarrow a=-\dfrac38$

Pentru aceasta valoare a lui a obtinem din ultima ecuatie

$t=x=y=-\dfrac14 \ si \ de\ mai\ sus \ z=\dfrac18$

Nu mai stau sa caut eventuale greseli de exprimare, sau de tastatura. Daca sunt ceva nelamuriri, intreaba. Volumul foarte mare de munca nu mi-a permis sa intru in amanunte.