Question

Fie familia de parabole fm:R-> R fm(x)=x^2-2(m-1)x+m, m€R a) Demonstrati ca parabolele trec printr-un punct fix pentru orice m€R b) Să se arate că vârfurile parabolelor se află pe o parabolă.

Answer 1

Răspuns:

fm(x)=x²-2(m-1)x+m   m∈R

a) punct fix

fm(x)=y

y=x²-2(m-1)x+m

x²-2(m-1)x+m-y=0

x²-2mx+2x+m-y=0

m(-2x+1)+x²+2x-y=0

Fie m=0=>

ec1 x²+2x-y=0

Fie m∈R*

-2x+1=0  x=1/2

Inlocuiesti pe x=1/2   in  ec 1   si   aflii  pe   y

(1/2)²+2*1/2-y=0

1/4+2/2=y

Aduci la acelasi  numitor

1/4+4/4=y

y=5/4

Punctul fix M(1/2, 5/4)

b) Varfurile parabolei sunt de ecuatie

V(-b/2a,-Δ/4a)

-b/2a=-[ -2(m-1)]/2=m-1

Δ=b²-4ac=[-2(m-1)²-4m=4(m-1)²-4m=

4(m²-2m+1)-4m=4m²-8m+4-4m=

4m²-12m+4

-Δ/4a= -[4m²-12m+4]/4=

-m²+3m+1=

-m²+2m+m+1=adui si   scazi   2

-m²+2m-2+2+m+1=

(-m²+2m-1)+(m-1)+3,=

-(m-1)²+(m-1)+3

Deci f(m-1)= -(m-1)²+(m-1)+3

Faci substitutia m-1 =t  si obtii

f(t)=-t²+t+3   care  este  o  parabola

Explicație pas cu pas:

Answer 2

........................................