Question

Fie fractia 2070-2069+2068-2067+4-3+2-1 supra 1+2+3+...+n, n apartine N. Determinati n astfel încat fractia sa fie echiunitara! Va rog ajutati-mă

Answer 1

Calculam mai intai numaratorul.
2070-2069+2068-2067+....+4-3+2-1=
=1+1+1+...+1 (de n ori)
Ca sa vedem de cate ore e 1, facem astfel:
2-1 -> n=1   -(2:2)-
4-3 -> n=2   -(4:2)-
6-5 -> n=3   -(6:2)-
8-7 -> n=4   -(8:2)-
.........
2070-2069 -> n = 1035    -(2070:2)-

=> 2070-2069+2068-2067+....+4-3+2-1= 1+1+1+...+1 (de 1035 ori) =
=1035×1 = 1035

O fractia e echiunitara cand numaratorul e egal cu numitorul, acum egalam:

[tex]1+2+3+...+n = 1035 \Rightarrow \frac{n(n+1)}{2} = 1035 \Rightarrow n(n+1) = 2070 \Rightarrow \\ \Rightarrow n^{2}+n-2070 = 0 \\ \Delta = 1+8280 = 8281 = 91^{2} \\ \\ n_{1,2} = \frac{-1\pm91}{2} \Rightarrow \left \{ {{n_{1}=-46(F)}\atop {n_{2}=45}} \right. \\ \\ \Rightarrow n = 45 [/tex]