Question

Fie funcita f:R- R , f(x)=ax+b. Sa se determime a si b astfel incat functia sa fie: a)para; b)impara; c)constanta.

Answer 1

f  para.  f(x)=f(-x)=>
ax+b=-ax+b=.>2ax=0 =>  a=o  b∈R
f  impara 
f(-x)=-f(x)
-ax+b=-(ax+b)=>
-ax+b= - ax-b  => 2b=0  =>  b=0  deci a∈R  b=0
f(x)=ax
c)  asa  cum  s-a  mai  spus   a=0   ,  f(x)=b

Answer 2

f: R → R, f(x) = ax + b
a) functia f este para, daca si numai daca : f(-x) = f(x)
f(-x) = a (-x) + b = -ax + b

f(-x) = f(x) ⇔ -ax + b = ax + b ⇒ -ax + b - (ax + b) = 0 ⇒ -ax + b - ax - b = 0
-2ax = 0

Cum x ∈ R, rezulta ca -2a = 0 ⇒ a = 0.
Deci f este functie para daca a = 0, iar b ∈ R.

b) functia f este impara daca f(-x) = -f(x)
f(-x) = a (-x) + b = -ax + b
-f(x) = - (ax + b) = -ax - b

f(-x) = -f(x) ⇔ -ax + b = -ax - b ⇒ -ax + b - (-ax - b) = 0 ⇒ -ax + b + ax + b = 0
2b = 0 ⇒ b = 0

Deci f este functie impara daca si numai daca a ∈ R, iar b = 0.

c) functia f este constanta daca f(x) = c (c este o constanta reala)
Asta implica faptul ca f(x) = ax + b = c
Dar x ∈ R, deci trebuie ca coeficientul lui x adica a sa fie egal cu 0

Prin urmare f este functie constanta daca a = 0 si b = c ∈ R.