Question

Fie functia f: [1/2;+∞) -> (-1/4; +∞) si f(x)=x²-x. Cum arat ca functia e inversabila si cum calculez inversa de 3 (adica f la -1 de 3)?

Answer 1

O functie e inversabila daca si numai daca e bijectiva. Ca sa arati ca e bijectiva, poti arata ca e continua,  strict monotona pe un interval.
Din teoria functiei de gradul 2 (pe care nu o voi scrie aici, pui mana si inveti functia de gradul 2) observi ca functia este strict crescatoare pe intervalul [1/2, infinit] deci este injectiva (calculezi coordonatele varfului, apoi verifici monotonia functiei de-o parte si de alta a axei de simetrie). f(1/2) = -1/4, f este crescatoare  si continua, deci codomeniul este acoperit in totalitate, deci imaginea functiei este [-1/4, infinit] (nu ai scris bine cerinta, ori ambele intervale au capatul stang inchis, ori deschis, nu unul deschis celalalt inchis) rezulta ca f este surjectiva. Fiind injectiva si surjectiva inseamna ca e bijectiva, deci e inversabila.

Ai 2 optiuni sa gasesti inversa de 3:
- Ori gasesti forula inversei si apoi calculezi cu argumentul 3
- Ori gasesti un x pentru care f(x) = 3.

Prima varianta este cam dificil de realizat. A doua metoda e mai rapida in cazul tau. Rezolvi ecuatia f(x)=3.
$x^2-x=3 \\ x^2-x-3=0 \\ x= \frac{1}{2}+ \frac{\sqrt{13}}{2}\\ f^{-1}(3)= \frac{1}{2}+ \frac{\sqrt{13}}{2}$
Daca te incapatanezi si vrei sa gasesti formula, nu cred ca poti sa o gasesti cu matematica de liceu. Formula inversei este 
$f^{-1}(x)= \frac{1}{2}+ \frac{\sqrt{4x+1}}{2}$