Question

Fie functia f definita pe [0,+infinit) cu valori in [3,+infinit). f(x)=(x^2-x+3)/x+1.
a) sa se calculeze lim cu x->+infinit din (x-1-f(x))
b) sa se arate ca f este surjectiva
c) sa se determine asimptotele la graficul functiei

Answer 1

x-1-f(x)=x-1-(x^2-x+3)/(x+1)=(x+1-x-1-x^2+x+3)/(x+1)=(-x^2+x-3)/(x+1)
x→∞ lim[(-x^2+x-3)/(x+1)]=-∞
b)f(0)=3
limf(x) x→∞  =lim(x^2-x+3)/(x+1)=∞  fiindca  gradul  numaratorului  2  mai  mare decat  gradul  numitorului  =1.
Deci   Imf=[3,∞)=codomeniul  =>  f  surjectiva
c)asimptota
ecuatia  asimptotei  y=mx+n
m=limf(x)/x=lim(x^2-x+3)/(x+1)*x=1
n=lim[f(x)-mx)=lim[(x^2-x+3)/(x+1)-x]=lim(x^2-x+3-x^2-x)/(x+1)=lim-2x/(x+1)=-2
y=x-2