Question

Fie funcția f: ℝ → ℝ, f(x) =x^2+2(m+2)x m^2
. Determinați
valorile reale ale lui m, pentru care vîrful parabolei, care reprezintă graficul
funcției f, aparține axei absciselor

Answer 1

x^2+2(m+2)x+ m^2
dac varful este pe axa Ox, cele 2 radacini sunt confundate deci
Δ=0
adica
Δ=4(m+2)²-4m²=0
4(m²+4m+4-m²)=0
4m+4=0
m+1=0
m=-1

intr-adevar,cum m=2=-1+2=1, functia devine
x²+2x+1= (x+1)²
care areVarful (-1;0)∈Ox

Answer 2

$f(x) = x^2+(m+2)x+m^2 \\ \\ Axa absciselor este axa Ox \\ Avem varful functiei (parabolei) V(x_0,y_0) \\ \\ Trebuie ca y_0 sa fie egal cu 0 \\ \\ \\ y_0 = 0\Rightarrow \dfrac{-\Delta}{4a} = 0 \Rightarrow \dfrac{-(b^2-4ac)}{4a} = 0 \Rightarrow\dfrac{-\big[(m+2)^2-4m^2\big]}{4} = 0 \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow (m+2)^2-4m^2=0 \Rightarrow m^2+4m+4 - 4m^2=0 \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow -3m^2+4m+4 = 0 \\ \Delta' = 16 + 4\cdot4\cdot 3 = 16+16\cdot 3 = 16\cdot 4 = 64$

$m_{1,2} = \dfrac{-4\pm 8}{-6} \Rightarrow m_1 = -\dfrac{2}{3},\quad m_2 = 2$

$\Rightarrow m\in \Big\{-\dfrac{2}{3}, 2\Big\}$