Question

fie functia f indice m (x)=mx^2-(2m-1)x+m-1
( x diferit de o) sa se determine m astfel incat vârful parabolei asociate acestei functii sa se găsească pe prima bisectoare

Answer 1

Prima bisectoare este reprezentata de dreapta care pleaca din origine si imparte primul cadran in 2 unghiuri de 45 de grade.Intersectia axelor OX si OY ale graficului formeaza 4 unghiuri drepte.Exercitiul face referire la 'prima bisectoare' care imparte primul unghi de 90 de grade, unde valorile functiilor sunt pozitive, in 2 unghiuri congruente. 


Ecuatia unei drepte determinata de un punct si o panta este data de formula:
$m(x-x_0)=y-y_0$


Punctul este originea graficului determinat de intersectia celor 2 axe si are coordonatele: O(0;0)

Pentru m=1 obtinem ecuatia bisectoarei ca fiind:
$b: \ 1*(x-0)=y-0 \\\\ b: \ x=y \\\\ \underline{ b: \ \ x-y=0}$

Varful parabolei unei functii de gradul 2 este dat de relatia:
$V(-\frac{b}{2a};-\frac{\Delta}{4a})$

Pentru ecuatia noastra avem:
$V(-\frac{-(2m-1)}{2*m}; -\frac{[-(2m-1)]^2-4*m*(m-1)}{4*m}) \\\\ V(\frac{2m-1}{2m}; - \frac{4m^2-4m+1-4m^2+4m}{4m}) \\\\ V(\frac{2m-1}{2m};- \frac{1}{4m})$

Pentru ca varful parabolei sa se afle pe prima bisectoare este necesar ca ale varfului coordonate sa verifice ecuatia bisectoarei,astfel se inlocuieste x cu prima coordonata a varfului si y cu cea de-a 2a coordonata.

$\frac{2m-1}{2m}-(-\frac{1}{4m})=0 \\\\ \frac{2m-1}{2m}^{(2}+\frac{1}{4m}=0 \\\\ 4m-2+1=0 \\\\ 4m=1 \\\\\\ \boxed{m=\frac{1}{4}}$

Answer 2

Ecuația primei bisectoare este y = x, deci orice punct de pe prima bisectoare are coordonatele egale.

In cazul parabolei cu vârful pe prima bisectoare, vom avea:

$\it x_V=y_V$

$\it x_V = -\dfrac{b}{2a} =-\dfrac{2m-1}{2m}$

[tex] y_V = - \dfrac{\Delta}{4a} =-\dfrac{(2m-1)^2-4m(m-1)}{4m}=-\dfrac{4m^2-4m+1-4m^2+4m}{4m} \\\;\\ =-\dfrac{1}{4m}[/tex]

$\it x_V=y_V\Rightarrow-\dfrac{2m-1}{2m}=-\dfrac{1}{4m}\Rightarrow 4m-2=1\Rightarrow4m=1\Rightarrow m=\dfrac{1}{4}$