Question

Fie functia f: N* -> N*, cu f(n) egal cu numarul de patrate perfecte existente in intervalul $[n^2, 2n^2]$. Sa se demonstreze ca f este crescatoare si surjectiva.

Answer 1

Daca numarul natural k indeplineste conditia

$n^2\leq k^2\leq2n^2\Rightarrow n\leq k\leq n\sqrt2, \ deci\ f(n)$
  este numarul de numere naturale ce se afla in intervalul
$[n,n\sqrt2]$ , adica

$f(n)=[n\sqrt2]-n+1\Rightarrow f(n)=[n+(\sqrt2-1)n]-n+1\Rightarrow$

$f(n)=[(\sqrt2-1)n]+1$

.

Demonstram ca este crescătoare:
Luam doua numere naturale $n_1<n_2$. Atunci:

$(\sqrt2-1)n_1<(\sqrt2-1)n_2\Rightarrow[(\sqrt2-1)n_1]\leq[(\sqrt2-1)n_2]\Rightarrow$
$\Rightarrow f(n_1)\leq f(n_2)\ deci \ f\ este \ crescatoare.$

Demonstram surjectivitatea:

Fie $y\in N^*$. Trebuie sa aratam ca exista macar un $n\in N^*$ astfel ca f(n)=y.

$y=f(n)\Leftrightarrow y=[(\sqrt2-1)n]+1\Leftrightarrow y-1=[(\sqrt2-1)n] \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow y-1\leq(\sqrt2-1)n<y\Leftrightarrow \dfrac{y-1}{\sqrt2-1}\leq n<\dfrac{y}{\sqrt2-1}$

Adica n trebuie sa fie un numar natural (nenul) din intervalul:

$\left[\dfrac{y-1}{\sqrt2-1};\dfrac{y}{\sqrt2-1}\right)$. Lungimea acestui interval este :

$\dfrac{y-1}{\sqrt2-1}-\dfrac{y}{\sqrt2-1}=\dfrac{1}{\sqrt2-1}>1$

deci sigur intervalul contine cel putin un numar natural, adica exista acel n cautat. Functia este deci surjectiva.