Question

fie functia f:R\{3} -> R, f(x) = 1. 1/ln (x-2), x apartine (2, infinit)\{3}; 2. x+a, x apartine ( - infinit, 2)

a) aflati valoarea lui a pentru care functia are limita in x=2

b) aflati coordonatele punctului de intersectie al asimptotei verticale cu asimptota orizontala

Answer 1

[tex]f:R\backslash\{2,3\}\rightarrow R,\ f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{ln(x-2)}\ ,\ x \in (2,\infty)\backslash{\{3\}}\\ x+a\ ,\ x \in (-\infty,2) \end{array} \right[/tex]

a)
Va trebui sa calculam limita de stanga si de dreapta. Pentru stanga(cand x este mai mic decat 2), vom avea a doua ramura, iar pentru dreapta o vom avea pe prima:

[tex]\lim_{x\nearrow2} f(x)=\lim_{x\nearrow2}(x+a)=2+a\\\\ \lim_{x\searrow2}f(x)=\lim_{x\searrow2}\frac{1}{ln(x-2)}=\frac{1}{-\infty}=0[/tex]

b)
Aflam mai intai ecuatia asimptotelor orizontale:
[tex]\lim_{x\to\infty}f(x)=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{ln(x-2)}=\frac{1}{\infty}=0\\\\ \lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}(x+a)=\infty[/tex]

Asadar, singura asimptota orizontala este y = 0, spre infinit

Pentru asimptota verticala, vom calcula limita in punctele de acumulare care nu se afla in domeniul de definitie. Pentru 2 am calculat deja, si niciuna dintre ele nu este infinita, asadar, nu avem asimptote verticale pentru x = 2.

Ne mai ramane x = 3. Vom face pentru stanga si pentru dreapta:
[tex]\lim_{x\nearrow3}f(x)=\lim_{x\nearrow3}\frac{1}{ln(x-2)}=\frac{1}{0_{-}}=-\infty\\\\ \lim_{x\searrow3}f(x)=\lim_{x\searrow3}\frac{1}{ln(x-2)}=\frac{1}0_{+}=\infty[/tex]

Asadar, dreapta x = 3 este asimptota verticala bilaterala

Avem cele doua asimptote: y = 0 si x = 3. Punctul de intersectie va fi punctul in care coordonata y va fi egala cu 0, si coordonata x cu 3, adica punctul
(3, 0)