Question

Fie functia f : R -> R, f(x) = 2x + 4.Se cere:
a) reprezentarea grafica a functiei intr-un sistem de axe ortagonale xOy;
b) coordonatele punctelor de intersectie ale graficului cu axele de coordonate;
c) aria triunghiului format de graficul functiei cu axele de coordonate;
d) distanta de la originea axelor la graficul functiei.
e) punctul de pe grafic care are abscisa egala cu ordonata;

Answer 1

[tex]f:R \rightarrow R,~f(x)=2x+4\\~ G_f =\{(x,f(x)):x \in R\}[/tex]

a)
Funcția este liniară(x apare la puterea întâi), deci graficul său este o dreaptă. O dreaptă este determinată unic de două puncte. Luăm două puncte de pe grafic și formăm o dreaptă cu ele, pentru a realiza asta trebuie să facem două alegeri pentru x, fie ele $x_1 = 0$ și $x_2 = 1$

Avem punctele $A(x_1,f(x_1)) = A(0,4)$ și $B(x_2,f(x_2))=B(1,6)$. Graficul funcției este dreapta AB.

b)
Un punct de pe axa Ox este de forma $(0,x)$
Un punct de pe axa Oy este  de forma $(y,0)$

Pentru a calcula intersecția cu axa Ox, calculăm f(0). Obținem punctul (0,4)
Pentru a calcula intersecția cu axa Oy, căutăm y astfel încât f(y) = 0.
[tex]f(y) = 0\\~ 2y+4=0\\~ 2y = -4\\~ y = -2\\~[/tex]

Obținem punctul (-2,0)

c)
Ox este perpendicular pe Oy, deci am obținut un triunghi dreptunghic cu catetele de dimensiune 2 și 4. Aria unui triunghi dreptunghic este jumătatea produsului catetelor. Cu alte cuvinte, aria triunghiului este 4.

d)
Folosim formula de calcul pentru distanța de la un punct la o dreaptă:
$d((x_0,y_0),ax+by+c=0) = \frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Ecuația dreptei descrise de graficul funcției f este
[tex]y = 2x+4\\~ 2x-y-4 = 0[/tex]

Avem tot ce ne trebuie pentru a calcula distanța:
$d((0,0),2x-y-4=0) = \frac{|2*0+(-1)*0-4|}{\sqrt{2^2+1^2}} = \frac{4}{\sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{5}}{5}$

e)
Căutăm punctele de forma (z,z) de pe graficul funcției, i.e. punctele de intersecție cu prima bisectoare.

Dacă un punct de forma (z,z) se află pe graficul funcției, atunci există un z astfel încât f(z) = z.
[tex]2z+4 = z\\~ z+4 =0\\~ z = -4[/tex]

Am obținut punctul (-4,-4).