Question

Fie functia f:R-->R, f(x) = { x+1, x<0
{ 2x+2, x>0
Sa se afle injectivitatea functiei.
(Acolazile reprezinta un sistem)

Answer 1

Fie x, y ∈ R, x ≠ y

Cazul I: x < 0 si y < 0

f(x) = x + 1

f(y) = y+ 1

f(x) = f(y) ⇔ x + 1 = y + 1 ⇔ x = y⇒ functie injectiva

Cazul II: x < 0 si y > 0 (la fel cu x > 0 si y < 0)

f(x) = x + 1

f(y) = 2y + 2

f(x) = f(y) ⇔ x + 1 - 2y - 2 = 0 ⇔ x - 2y - 1 = 0 ⇔ x - 2y = 1

Aici trebuie sa folosesti si mintea, nu doar formule. Numar negativ - numar pozitiv > 0 ? Imposibil ⇒ f(x) ≠ f(y) ⇒ functie injectiva

Cazul III: x > 0 si y > 0

f(x) = 2x + 2

f(y) = 2y + 2

f(x) = f(y) ⇔ 2x + 2 = 2y + 2 ⇔ x = y ⇒ functie injectiva.

Din moment ce f(x) = f(y) doar daca x = y, ∀x, y ∈ R, functia este injectiva.