Question

Fie functia f:R->R, f(x)=x^2-4x+3
a) Sa se arate ca functia F:R-> R, F(x) =x^3/3-2x^2+3x+2020 este o primitiva a functiei f(x)
b) sa se calculeze integrala de la 1 la 3 din (x-2) f^2(x) dx
urgeeent​

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

a)

∫f(x) dx = ∫(x^2 - 4x + 3) dx = x^3 / 3 - 4x^2 / 2  + 3x + C =

x^3 / 3 - 2x^2 + 3x + C, C ∈ R este o constanta de integrare, oarecare.

 Pentru valoarea particulara C = 2020, atunci

F(x) =x^3/3-2x^2+3x+2020 este o primitiva a functiei f(x).

b)

∫(x-2) f^2(x) dx

Folosim integrarea prin parti

∫u*v´ dx = u*v - ∫v*u´dx

fie u(x) = x-2 ⇒ u´ = 1 si

v(x) = f^2(x) ⇒ v´= 2f(x)

 Astfel avem:

∫(x-2)f^2(x) dx = (x-2)f^2(x) - ∫f^2(x) dx =

(x-2)(x^4+16x^2+9-8x^3+6x^2-24x) - 2∫(x^2 - 4x + 3) dx =

unde se efectueaza calculele simple, algebrice, dupa care aplici formula Leibniz-Newton pentru integrala definita de la 1 la  3.

$\int\limits^3_1 {h(x)} \, dx = H(3) -H(1)$

$\int\limits^3_1 {(x-2)(x^4+16x^2+9-8x^3+6x^2-24x) - 2(x^3/3-2x^2+3x)} \, dx$

si de aici te rog sa continui tu. Nu mai sunt probleme deosebite de rezolvare.

 Succes!