Question

Fie functia f:R→R,f(x)=ax+b,unde a si b sunt numere reale.
a) Demonstrati daca este adevarata egalitatea: f (3)+ f (7)= 2⋅ f (5).
b) Determina functia f, stiind ca punctele A(0; rad3) si B( rad3 supra 2; 3 supra 2) apartin reprezentarii grafice a functiei f.
c) Pentru a = rad3 − 2 si b = rad3 , rezolva în multimea numerelor reale inecuatia f(x) ≤ 2 .

Answer 1

Explicație pas cu pas:

$f(x)=ax+b$

a)

$f(3) + f(7) = 3a + b + 7a + b \\ = 10a + 2b = 2(5a + b) = 2\cdot f(5)$

b)

$A\left(0 ; \sqrt{3} \right),B\left( \frac{ \sqrt{3} }{2} ; \frac{3}{2}\right) \in Gf$

→

$f(0) = \sqrt{3} = > 0 + b = \sqrt{3} => b = \sqrt{3}$

și

$f\left( \frac{ \sqrt{3} }{2}\right) = \frac{3}{2} = > a\cdot \frac{ \sqrt{3} }{2} + \sqrt{3} = \frac{3}{2} \\ a \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} = 3 < = > a \sqrt{3} = 3 - 2 \sqrt{3} \\ a = \frac{3 - 2 \sqrt{3} }{ \sqrt{3} } = > a = \sqrt{3} - 2$

→

$f(x) = ( \sqrt{3} - 2)x + \sqrt{3}$

c)

$f(x) \leqslant 2 = > ( \sqrt{3} - 2)x + \sqrt{3} \leqslant 2$

$( \sqrt{3} - 2)x \leqslant 2 - \sqrt{3} < = > - (2 - \sqrt{3})x \leqslant 2 - \sqrt{3} \\ = > x \geqslant - 1$

$= > x\in \left[1; + \infty \right)$