Question

Fie functia f:R-R , f(x)=mx^2+2mx+1 , unde m∈R*.Determinati numerele reale m pentru care urmatoarele propozitii sunt adevarate:
a)f(x)>o , (∀)x∈R; b)f(x)>0 , (∀)x>0; c)f(x)>0 , (∀)x>1

Answer 1

a)
m>0 si
Δ<0


m>0
4m²-4m<0 adica m²-m<0 adica m∈(0;1) care satisface si conditia m>0


b)
pt m>0 facem graficul
functia va avea un minim pt x
 x=-2m/2m=-1
cu valoarea f(-1)=m-2m+1=-m+1
 Obs nu ne intereseaz dac aceasta valoare minima -m+1=1-m estte pozitiva sau negativa ci doar ca estre mai mica decat 1

pt x=0 va avea valoare 1>-m+1 deci , pt x>0 va fi pe ramura crescatoare si f(x) >f(0)=1>0
deci ∀m>0, f(x) >0 pt x>0

pt m<0 la +∞ functia va tinde la -∞ deci nu poate fi indeplinita conditia ceruta


c) cu aceleasi com nsiderente, pt m>0, cum 1>0 si ne aflam pe ramura crescatoare f(1)>f(0)=1>0 deci e indeplinita ∀x>1

iar pt m<0 nu este indeplinita pt ca la +∞ functia tinde la -∞