Question

Fie functia f:R R,f(x)=$ax+10- a^{2}$ . Determinati valorile reale ale lui a, pentru care x= - 3 este zerou al functiei f,iar graficul functiei f intersecteaza axa Oy intr-un punct de ordonata pozitiva.

Answer 1

$f(-3)=0\Rightarrow a(-3)+10-a^{2}=0\Rightarrow a^{2}+3a-10=0\Rightarrow a^{2}+5a-2a-10=0\Rightarrow a(a+5)-2(a+5)=0\Rightarrow (a-2)(a+5)=0$ cu solutiile a=-5 si a=2
Graficul functiei intersecteaza axa Oy atunci cand x=0. Deci
$f(0)>0\Rightarrow a*(0)+10-a^{2}>0\Rightarrow a^{2}<10$
Vedem ca cele doua solutii au valorile patrate: 25 si 4. Deci prima solutie este incompatibila cu conditia ca ordonata trebuie sa fie pozitiva, deci singura solutie potrivita este: a=2

Answer 2

$\it f(x)= ax+10-a^2\ \ \ \ (*)$

$\it x = -3 \ este \ zerou\ al \ functiei\ \Longrightarrow f(-3) = 0 \ \ \ (1)$

Calculm acum f(-3) din relația (*) :

$\it f(-3) = a\cdot (-3) +10 -a^2 \Longrightarrow f(-3) = -a^2 -3a+10\ \ \ (2)$

Din relațiile (1), (2) obținem:

$\it -a^2-3a+10 = 0|_{\cdot(-1)} \Longrightarrow a^2+3a-10 =0$

Rezolvând ultima ecuație, obținem: a = -5  și  a = 2 .

Gf ∩ Oy = { f(0) } = { 10-a² }

Ordonata 10-a² este pozitivă, adică :

10-a² > 0 ⇒ 10 > a² ⇒ a² < 10 

Dintre cele două valori ale lui a, determinate mai sus, numai a = 2 verifică ultima egalitate.

Așadar, valoarea lui a pentru care condițiile din enunț sunt îndeplinite,

este  a =2 .