Question

Fie functia f:R-R,f(x)=x patrat+5x+m+6. Sa se determine valorile numarului real m stiind ca f(x)>0,pentru oricare ar fi X apartine lui R.

Answer 1

Salut,

Coeficientul lui x² este 1 > 0, deci graficul funcţiei f(x) este o parabolă cu "braţele" orientate în sus.

Forma canonică a funcţiei de gradul al doilea este:

$f(x)=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{\Delta}{4a}.$

Pentru ca f(x)>0, avem condiţiile:

a = 1 > 0, pentru orice m real.

[x+b/(2a)]² este deja mai mare sau egal cu zero, pentru că este pătrat perfect - aceasta nu este o condiţie, este doar o constatare, o observaţie :-).

Cum a > 0, rezultă că 4a > 0. Trebuie ca:

$-\dfrac{\Delta}{4a}>0,\;deci\;condi\c{t}ia\;ar\;fi\;ca\;\Delta<0;\\\\\Delta=b^2-4ac=5^2-4\cdot 1\cdot (m+6)<0,\;sau\;25-4m-24<0\Rightarrow m\in\left(\dfrac{1}{4},\;+\infty\right).$

Lămurită ?

Green eyes.