Question

Fie funcțiile f,g :( o, ) -->R, f(x)= ✓x + lnx , g(x)= (✓x+2)/2x.
a) Sa se calculeze integrala de la 1 la 4 din f(x)1 * g(x) dx.
b) Sa se demonstreze ca integrala de la 1 la 4 din g(x)* f"(x) dx = -1
Ma puteți ajuta cu o rezolvare completă?

Answer 1

[tex]f(x)=\sqrt{x}+\ln{x}\\\\ g(x)= \dfrac{ \sqrt{x} -2} {2x} [/tex]

a) $\int\limits^4_1 {f(x)\cdot g(x)} \, dx = ?$

Când îți dă să calculezi integrală din două funcții înmulțite care par complicate este posibil ca una să fie derivata celeilalte, motiv pentru care încerc să verific acest lucru. De-asta, îl derivez pe f(x) să văd dacă observ vreo legătură între cele două.

$f'(x)= (\sqrt{x} +\ln{x})'=(\sqrt{x})' +(\ln{x})'= \dfrac{1}{2 \sqrt{x} } + \dfrac{1}{x}$

Aducem la numitor comun (și anume 2x), motiv pentru amplific prima fracție cu $\sqrt{x}$ și a doua fracție cu 2.

Deci:

$f'(x)= \dfrac{ \sqrt{x} } {2 \sqrt{x} \cdot \sqrt{x} }+ \dfrac{2}{2x} = \dfrac{ \sqrt{x} +2}{2x}$

Observăm că presupunerea de la care am plecat a fost corectă, și anume:

$f'(x)=g(x)$

De aici rezultă că:

$\int\limits^4_1 {f(x)\cdot g(x)} \, dx =\int\limits^4_1 {f(x)\cdot f'(x)} \, dx$

Pentru a calcula această integrală aplicăm următoarea formulă de la integrarea funcțiilor compuse:

$\int{u(x)\cdot u'(x)} \, dx = \cfrac{u^2(x)}{2}$

Deci:

$\int\limits^4_1 {f(x)\cdot f'(x)} \, dx= \cfrac{f^2(x)}{2}~\Big|^4_1$

Înlocuind cu f(x) rezultă:

[tex]\int\limits^4_1 {f(x)\cdot f'(x)} \, dx= \cfrac{(\sqrt{x}+\ln{x})^2}{2} ~\Big|^4_1= \cfrac{(\sqrt{4}+\ln{4})^2}{2}- \cfrac{(\sqrt{1}+\ln{1})^2}{2}\\\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~= \dfrac{(2+\ln{4})^2-(1+0)^2}{2} = \dfrac{\ln^2{4}+4\ln{4}+3}{2} [/tex]

b) La fel ca la punctul a, ne legăm de relația $f'(x)=g(x)$. Derivând membrul stâng și membrul drept rezultă că $f''(x)=g'(x)$.

Deci, putem scrie că:

[tex]\int\limits^4_1 {g(x)\cdot f''(x)} \, dx=\int\limits^4_1 {g(x)\cdot g'(x)} \, dx = \dfrac{g^2(x)}{2}~ \Big|^1_4[/tex]

Înlocuim pe g(x):

$\dfrac{g^2(x)}{2}~ \Big|^1_4=\dfrac{\bigg(\dfrac{ \sqrt{x} -2} {2x}\bigg)^2}{2}~ \Bigg|^1_4= \dfrac{ (\sqrt{x}-2)^2 }{8x^2} ~ \Bigg|^4_1= \dfrac{ (\sqrt{4}-2)^2 }{8\cdot4^2} - \dfrac{ (\sqrt{1}-2)^2 }{8\cdot 1^2} = \\\\ \dfrac{0^2}{8\cdot 16} - \dfrac{(-1)^2}{8} =0- \dfrac{1}{8}=- \dfrac{1}{8}$

Sper că nu am greșit la calcule.