Question

Fie G centrul de greutate al triunghiului isoscel ABC, de baza [BC], iar AG = BG. Demonstrați ca triunghiul ABC este echilateral.

Answer 1

Stim ca centrul de greutate al unui triunghi este intersectia tuturor medianelor din triunghi. Daca AG=BG, atunci triunghiul AGB este isoscel, notam cu F mijlocul lui AB, si ducem mediana GF. Dar pentru ca AGB este un triunghi isoscel, atunci GF este si mediana si inaltime. Dar stim ca prin G trece si mediana CF, caci toate medianele triunghiului sunt intersectate in G.
Atunci CF si GF sunt coloniare, atunci C,G si F sunt coliniare, si daca GF e perpendiculara pe AB, atunci si CF este perpendiculara pe AB
CF este si mediana si inaltime atunci triunghiul este isoscel cu laturile congruente BC=AC. Dar stim deja ca AC=AB, rezulta ca AC=BC=AB adica triunghiul este echilateral.