Question

Fie M=(0, infinit). Studiati proprietatile legii de compozitie ,,*’’ definita pe M prin:
M•M-M, (x,y)-x•y=x*ln y

Answer 1

Răspuns:

Legea este comutativă:

$x*y=y*x\Leftrightarrow x^{\ln y}=y^{\ln x}\Leftrightarrow \ln y\ln x=\ln x\ln y$, ceea ce este adevărat. (La ultima echivalență am logaritmat ambii membri în baza e).

Legea este asociativă:

$(x*y)*z=x^{\ln y}*z=\left(x^{\ln y\right)^{\ln z}=x^{\ln y\ln z}$

$x*(y*z)=x*y^{\ln z}=x^{\ln\left(y^{\ln z}\right)}=x^{\ln z\ln y}$

Deci $(x*y)*z=x*(y*z), \ \forall x,y,z\in(0\infty)$

Element neutru: notăm elementul neutru cu $\theta$, pentru a-l deosebi de numărul e.

$x*\theta=x, \ \forall x\in(0,\infty)\Rightarrow x^{\ln\theta}=x\Rightarrow\ln\theta=1\Rightarrow\theta= e$

Legea fiind comutativă, are loc și egalitatea $\theta*x=x, \ \forall x\in(0,\infty)$

Elemente simetrizabile:

$x*x'=\theta\Rightarrow x^{\ln x'}=e\Rightarrow\ln x'\ln x=1\Rightarrow\ln x'=\dfrac{1}{\ln x}\Rightarrow x'=e^{\dfrac{1}{\ln x}}, \ x\ne 1$

Deci toate elementele, cu excepția lui 1, sunt simetrizabile.

Explicație pas cu pas: