Question

Fie M = (2,infinit)si legea de compozitie " * " definita pe R prin : x * y = xy + ax -2y + b ,undeve a, b € R.
a) determinati valorile lui a si b pentru care 1 *3 = 3 *1 =1
b) aratati ca daca M este grup in raport cu legea " x" , atunci a = -2 si b= 6.
c ) pentru a = -2 si b = 6 rezolvati ecuația ( x * x )*x = 3, x € R.

Answer 1

1·3 +a·1- 2·3  +b= 3· 1+a·3 - 2·1 + b =1
a- 3 +b= 3· a -2 +b =1
a+b -3=1
3a+ b +1=1            ⇒   a+b=4 
                                  3a+b=0  la scadem    ⇒      2a= -4    a=-2     si b=6
b. folosim asociativitatea       x ×( y×z) = ( x×y) ×z 
egalam coeficientii pentru x  :
                                       y  :
                                        z  :
c.rescriem legea    x×y = (x -2 ) · ( y -2) +2
x×x= (x-2)·(x-2) +2= (x-2)² +2
[ x×x]×x = [ ( x-2)² +2 ] × x =[ ( x-2)² +2 -2 ]( x-2) +2 = (x-2) ³ +2 
(x-2)³ +2 =3
( x-2) ³ - 1 =0  folosim formula diferenta cuburi 
 (x - 2-1 ) [ (x-2)² + (x-2) · 1 + 1² ]=0 
x-3 =0    ⇒   x=3 
paranteza dreapta , rezolvata are radacini complexe