Question

fie m ai n doua numere naturale nenule.aratati ca :
${2 }^{m} + {7}^{n}$
este divizibil cu 5 daca si numai daca
${3}^{m} + {8}^{n}$
este divizibil cu 5.​

Answer 1

Explicație pas cu pas:

3^m+8^n :5 <=>u.c 3^m+8^n€{0,5}

u.c 3^1=3

u.c 3^2=9

u.c 3^3=7

u.c 3^4=1

Si de aici tot se repeta

Deci u.c 3^m€{3,9,7,1}

u.c 8^1=8

u.c 8^2=4

u.c 8^3=2

u.c 8^4=6

Deci u.c 8^n€{8,4,2,6}

Observam ca este pozibil doar pt

u.c 3^m=3 si u.c 8^n=2 (deci m=4k+1 si n=4k+3)

u.c 3^m=1 si u.c 8^n=4 (deci m=4k si n=4k+2)

Acum trebuie doar sa inlocuim formele exponentilor in 2^m+7^n si sa vedem daca avem u.c€{0,5}

1. m=4k+1 si n=4k+3

u.c 2^1=2

u.c 2^2=4

u.c 2^3=8

u.c 2^4=6

Deci pt 4k+1 avem u.c 2^m=2

u.c 7^1=7

u.c 7^2=9

u.c 7^3=3

u.c 7^4=1

Deci pt 4k+3 avem u.c 7^n=3

=> u.c 2^m+7^n=5 deci este divizibil cu 5

2.m=4k si n=4k+2

Nu mai scriem valorile posibile a u.c 2^m si u.c 7^n ca le am scris mai sus asa ca o sa facem direct

m=4k=>u.c 2^m=6

n=4k+3=>u.c 7^n=9

Avem noroc si aici pt ca u.c 2^m+7^n=5 deci este divizibil cu 5

Deci daca 3^m+8^n divizibil cu 5 => 2^m+7^n divizibil cu 5