Question

fie m E R si parabola y=x^2-(m+1)x+2m . determinati m daca graficul functiei f este situat deasupra dreptei y=1

Answer 1

Salut,

Funcţia de gradul al doilea din enunţ îl are pe a = 1 (coeficientul lui x²), deci graficul funcţiei este o familie de parabole, toate cu "braţele" în sus, iar această funcţie atinge valoarea minimă egală cu:

$-\frac{\Delta}{4a},\;unde\;\Delta=b^2-4ac=(-(m+1))^2-4\cdot 1\cdot 2m=m^2+2m+1-8m=\\=m^2-6m+1,\;deci\;\Delta=m^2-6m+1.$

Pentru ca oricare dintre aceste parabole să se situeze deasupra dreptei y = 1 (paralela la axa Ox care trece prin punctul de coordonate (0,1)), trebuie să impunem condiţia ca valoarea minimă a funcţiei să fie mai mare decât 1 (dacă valoarea minimă este mai mare decât 1, înseamnă că întregul grafic se află deasupra dreptei din enunţ):

$-\frac{\Delta}{4a}>1,\;sau\;-\frac{m^2-6m+1}{4}>1,\;sau\;1+\frac{m^2-6m+1}{4}<0,\;sau\;\frac{m^2-6m+5}{4}<0,\;sau\;m^2-6m+5<0$

Ecuaţia:$m^2-6m+5=0,\;are\;solutiile\;m_1=1\;si\;m_2=5,\;deci\;inecuatia\;la\\\;care\;am\;ajuns\;are\;solutia\;m\in(1,\;5).$

Green eyes.