Question

Fie M, N, M` si N` mijloacele muchiilor [AB], [AD], [A`B`], [A`D`] ale cubului ABCDA`B`C`D` de latura a. Aratati ca planele (MNM`) si (BDB`) sunt paralele si determinati distanta dintre ele. Multumesc mult <3 !

Answer 1

teorie:
daca doua drepte concurente apartinand unui plan α sunt paralele cu un plan β atunci planele α si β  sunt paralele.
o dreapta este perpendiculara pe un plan daca este perpendiculara pe doua drepte concurente din plan

in tr. ABD, MN este linie mijlocie, MN║BD ⇒ MN║(BDB') (1)
AA'M'M este dreptunghi ⇒ MM'║BB' ⇒ MM'║(BDB')  (2)
din (1) si (2) rezulta  ca (MNM')║(BDB')
AC⊥BD ⇒ AO2⊥MN si AO2⊥MM' ⇒ AO2⊥(MNM')
AO1⊥BD si AO1⊥BB' ⇒ AO1⊥(BDB') ⇒ O1O2 este perpendiculara pe cele doua plane deci O1O2 este distanta dintre planele (MNM') si (BDB')
AO1=AC/2=a√2/2
cu teorema fundamentala a asemanarii avem:
AM/AB=AO2/AO1
1/2=AO2/(a√2/2)
AO2=a√2/4
O1O2=AO1 - AO2=a√2/2 - a√2/4
O1O2=a√2/4