Question

Fie M si N mijloacele laturilor [BC] si respectiv [DC] ale paralelogramului ABCD iar E si F intersectia dreptelor AB cu DM si AD cu BN . Sa se arate ca punctele E , C si F sunt coliniare si sa se calculeze lungimea segmentului MN in functie de lungimea segmentului BD=5 cm

Answer 1

Te uiti in triunghiul AFB. Stii ca DN este paralela cu AB, pentru ca DN face parte din CD care e paralel cu AB. Mai stii ca DN este jumatate din AB, pentru ca N este la jumatatea lui CD, $DN=\frac{1}{2}CD$(1) dar CD=AB, atunci $DN=\frac{1}{2}AB$(2) Din 1 si 2, rezulta ca DN este linie mijlocie in triunghiul AFB adica D mijlocul lui AF, adica AD=DF.

In mod similar
Te uiti in triunghiul ADE. Stii ca MB este paralela cu AB, pentru ca MB face parte din BC care e paralel cu AD. Mai stii ca MB este jumatate din BC, pentru ca M este la jumatatea lui BC, $MB=\frac{1}{2}BC$(1) dar AD=BC, atunci $MB=\frac{1}{2}AD$(2) Din 1 si 2, rezulta ca MB este linie mijlocie in triunghiul ADE adica B  este mijlocul lui AE, adica AB=BE.

La acest moment ai prelungit practic laturile AB si AD cu segmentele BE respectif DF de lungime egala pe aceeasi dreapta. Deci ai ajuns la problema identica cu cea de dinainte pe care am rezolvat-o. Stii sa demonstrezi cum E,C,F sunt coliniare. (drepte paralele si egale se formeaza doua paralelograme....)
Cat despre MN, M si N sunt mijloacele laturilor BC si CD, deci MN este linie mijlocie in BCD adica $MN=\frac{BD}{2}=\frac{8}{2}=4$