Question

Fie matricea A= $\left(\begin{array}{ccc}1&1&0\\0&0&1\\0&1&0\end{array}\right)$.
Aratati ca: $A^{n}- A^{n-2}= A^{2} -I_{3}$ pt orice n>=3, n numar natural.

Answer 1

Răspuns:

$A^2=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}$

$A^3=\begin{pmatrix}1 & 2 & 1\\0 & 0 & 1\\0 & 1 & 0\end{pmatrix}$

Se verifică prin calcul că $A^3-A=A^2-I_3$. Deci relația se verifică pentru n=3.

Presupunem că este adevărată pentru n și demonstrăm pentru n+1,

adică $A^{n+1}-A^{n-1}=A^2-I_3$

$A^{n+1}-A^{n-1}=A(A^n-A^{n-2})=A(A^2-I_3)=A^3-A=A^2-I_3$

deci relația este adevărată pentru orice $n\ge 3$.

Explicație pas cu pas: