Question

Fie matricea A=$\left[\begin{array}{ccc}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{array}\right]$,det A =?

Det A=?

Answer 1

Trebuie sa stii doua elemente cheie despre determinantul unei matrici
1) O matrice care are o intreaga linie sau coloana egala cu 0 va avea determinantul 0. 
deci
$|\begin{vmatrix}0 & 0 & 0\\4 & 5 & 6\\7 & 8 & 9\end{vmatrix}=0|$
Sau 
$|\begin{vmatrix}0 & 2 & 3\\0 & 5 & 6\\0 & 8 & 9\end{vmatrix}|=0$
2) Determinantul unei matrici este invariabil la operatii de adunare/diferente de linii/coloane
De exemplu determinantul matricii
$|\begin{vmatrix}1 & 2 & 3\\4-1 & 5-2 & 6-3\\7 & 8 & 9\end{vmatrix}|=\begin{vmatrix}1 & 2 & 3\\ 3 & 3 & 3\\7 & 8 & 9\end{vmatrix}|=|\begin{vmatrix}<span>1+2*3 & 2 & 3\\4+2*6 & 5 & 6\\7+2*9 & 8 & 9</span>\end{vmatrix}|=|\begin{vmatrix}7 & 2 & 3\\16 & 5 & 6\\25 & 8 & 9\end{vmatrix}|$
Deci determinantul este acelasi daca aduni/scazi linii intre ele sau coloane si pot sa fie operatii cu coeficienti(2*coloana3+coloana1) de exemplu
ATENTIE: Nu ai voie sa inmultesti coloane/linii direct(linia1*linia2) sau sa faci operatii partiale de linii (faci 1+4 si 2+5...dar nu faci 3+6 adica nu aduni intreaga coloana)
atunci stim ca determinantul lui A va fi egal cu cel al matricei unde scadem din linia 2 pe prima linie, si la fel scadem din linia 3 linia 1
$det A=||\begin{vmatrix}1 & 2 & 3\\4-1 & 5-2 & 6-3\\6-1 & 7-2 & 9-3\end{vmatrix}|=|\begin{vmatrix}1 & 2 & 3\\3 & 3 & 3\\5 & 5 & 5\end{vmatrix}|$

Acum inmultim linia doi cu 5/3 si o scadem din linia 3 adica Linia3-5/3Linia2
$det A=|\begin{vmatrix}1 & 2 & 3\\3 & 3 & 3\\5-\frac{5}{3}*3 &5-\frac{5}{3}*3 &<span>5-\frac{5}{3}*3</span>\end{vmatrix}|=|\begin{vmatrix}1 & 2 & 3\\3 & 3 & 3\\0&0&<span>0</span>\end{vmatrix}|=0$ caci linia 3 este plina de 0

Answer 2

detA=$\left[\begin{array}{ccc}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}1&2&3\\4-1&5-2&6-3\\7-4&8-5&9-6\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}1&2&3\\3&3&3\\3&3&3\end{array}\right]=0$ Am aplicat prima data proprietatea determinantilor: scazand o linie sau o coloana din alta linie sau coloana valoarea det. nu se schimba, am scazut din linia 3 linia 2 si din linia 2 linia 1., apoi det. cu doua linii sau doua coloane egale este nul.