Question

Fie matricea $A=\left([tex]\begin{array}{rr}5 & 4 \\ -4 & -3\end{array}\right)$. Să se determine $a, b \in \mathbb{R}$ pentru care $A^{2}=a A+b I_{2}$ şi apoi arătați că $A^{n}=n A+(1-n) I_{2}, \forall n \in \mathbb{N} *$.[/tex]

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

A^2 = aA +b[1  0 / 0  1]

A^2 = [25-16  20-12 / -20+12  -16+9] = [9  8 / -8 -7]

[9  8 / -8 -7] = [5a  4a / -4a  -3a] + [b  0 / 0  b]

[9  8 / -8 -7] =[5a+b  4a / -4a  -3a+b] de unde avem

4a = 8, a = 2 si

10+b = 9, b = -1.

Deci avem ca

A^2 = 2A + (1-2)I2

Presupunem ca avem valabila relatia de inductie pt n si

vom demonstra ca ea este valabila si pentru n+1, adica

A^(n+1) = (n+1)A + (1-n-1I2, adica

A^(n+1) = (n+1)A -nI2...