Question

Fie ΔMNP dreptunghic în M, cu MN = 10 dm și m(unghi P) = 30°. Construim MQ perpendicular pe NP, Q ∈ NP și MR mediană, R ∈ NP. Atunci aria triunghiului MQR este egală cu ....% din aria triunghiului MNP.

Answer 1

Răspuns:

$A_{\triangle MQR}~\text{este}~25\%~\text{din}~A_{\triangle MNP}$

Explicație pas cu pas:

Ipoteza:

$NM\perp PM\\MR~\text{median\u{a}}\\m\sphericalangle P=30\°\\MN=10~\text{dm}$

Aflăm ipotenuza $NP$ aplicând $\sin$ în $\sphericalangle MPN$:

$\sin{30\°}=\frac{1}{2}\\\\\triangle MPN~\text{dreptunghic}\Rightarrow \sin{\sphericalangle MPN}=\frac{cat. op}{ip.}=\frac{MN}{NP}\\\Rightarrow \frac{1}{2}=\frac{MN}{NP}\\\Rightarrow 1\cdot NP=2\cdot MN\\\Rightarrow NP=2\cdot10\\\Rightarrow NP=20~\text{dm}$

Aplicăm teorema lui Pitagora în $\triangle MNP$ și aflăm $MP$:

${\text{cateta}_1}^2+{\text{cateta}_2}^2=\text{ipotenuza}^2\\\\\Rightarrow MN^2+MP^2=NP^2 \Rightarrow MP=\sqrt{NP^2-MN^2}\Rightarrow\\\Rightarrow MP=\sqrt{20^2-10^2}\\\Rightarrow MP=\sqrt{400-100}\\\Rightarrow MP=\sqrt{300}\\\Rightarrow MP=10\sqrt{3}~\text{dm}$

Folosim teorema catetei pentru a afla segmentele $NQ$ și $PQ$:

$\text{cateta}^2=\text{proiectia catetei}\cdot\text{ipotenuza}\\\\\Rightarrow MN^2=NQ\cdot NP\\\Rightarrow 10^2=NQ\cdot20\\\Rightarrow NQ\cdot20=100\\\Rightarrow NQ=5~\text{dm}\\\\PQ=NP-NQ\\\Rightarrow PQ=20-5\\\Rightarrow PQ=15~\text{dm}$

Calculăm aria triunghiului:

$A_{\triangle MNP}=\frac{\text{cateta}_1\cdot\text{cateta}_2}{2}\\\Rightarrow A_{\triangle MNP}=\frac{MN\cdot MP}{2}\\\Rightarrow A_{\triangle MNP}=\frac{10\cdot10\sqrt{3}}{2}\\\Rightarrow A_{\triangle MNP}=50\sqrt{3}~\text{dm}^2$

Una dintre proprietățile medianei (în orice triunghi) este că împarte aria în valori egale. Putem folosi asta pentru a afla $A_{\triangle MPR}$:

$MR~\text{median\u{a}}\Rightarrow A_{\triangle MPR}=\frac{A_{\triangle MNP}}{2}\\\Rightarrow A_{\triangle MPR}=\frac{50\sqrt{3}}{2}\\\\\Rightarrow A_{\triangle MPR}=25\sqrt{3}~\text{dm^2}$

Exprimăm aria $\triangle MNP$ prin formula $\frac{\text{baza}\cdot\text{\^{i}n\u{a}ltimea}}{2}$ pentru a afla înălțimea $MQ$:

$A_{\triangle MNP}=50\sqrt{3}~\text{dm}^2\\\\A_{\triangle MNP}=\frac{NP\cdot MQ}{2}\\\Rightarrow 50\sqrt{3}=\frac{20\cdot MQ}{2}\\\Rightarrow 100\sqrt{3}=20MQ\\\Rightarrow MQ=\frac{100\sqrt{3}}{20}\\\Rightarrow MQ=5\sqrt{3}~\text{dm}$

Aflăm $A_{\triangle MPQ}$ și scădem $A_{\triangle MPR}$ din ea pentru a determina $A_{\triangle MQR}$:

$A_{\triangle MPQ}=\frac{MQ\cdot QP}{2}\\\Rightarrow A_{\triangle MPQ}=\frac{5\sqrt{3}\cdot 15}{2}\\\Rightarrow A_{\triangle MPQ}=\frac{75\sqrt{3}}{2}\\\\A_{\triangle MQR}=A_{\triangle MQP}-A_{\triangle MPR}\\\Rightarrow A_{\triangle MQR}=\frac{75\sqrt{3}}{2}-25\sqrt{3}\\\Rightarrow A_{\triangle MQR}=\frac{75\sqrt{3}-2\cdot25\sqrt{3}}{2}\\\Rightarrow A_{\triangle MQR}=\frac{25\sqrt{3}}{2}~\text{dm}^2$

Comparăm ariile:

$A_{\triangle MQR}=x\cdot A_{\triangle MNP}\\\frac{25\sqrt{3}}{2}=x\cdot 50\sqrt{3}\\\frac{25\sqrt{3}}{2} : 50\sqrt{3}=x\\x=\frac{25\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{1}{50\sqrt{3}}\\x=\frac{25\sqrt{3}}{100\sqrt{3}}\\x=\frac{25}{100}\\x=25\%$