Question

Fie multimea (1,2,3,......,100)coloranduse cu culorile rosu galben si albastru

a)suma dintre un nr colorat cu galben si colorat cu albastru este divizibil cu 3

b)suma oricarei doua  nr rosii este  divizibila cu 3

Aratati ca nr 3 este rosu si aflati suma nr rosii

Answer 1

Fiindca suma oricarui numar galben si a oricarui numar albastru este div cu 3 inseamna ca ele sunt de forma 3k+1 o culoare sau 3k+2 cealalta culoare fie sunt toate de forma 3k.  Varianta din urma este contrazisa de afirmatia b asadar Numerele G si A sunt de forma 3k+1 respectiv 3k+2. Asta inseamna ca numerele R sunt de forma 3k.
Asa se demonstreaza ca 3 este rosu (se obtine pentru k=1)
S=3+6+...+99
S este progresia aritmetica cu primul termen 3 si ratia 3 si 33 termeni.

Teoria progresiei aritmetice cu n termeni:
S=a+ra+2ra+3ra+...+(n-1)ra
S=a(1+r+2r+3r+...+(n-1)r)
S=a(1+r(1+2+3+...+n-1)) suma primilor k numere naturale este k(k+1)/2
S=a(1+r(n(n-1)/2)
Inlocuim a=3 r=3 n=33
S=3(1+3(33·32)/2)
S=3(1+528·3)
S=.......iti las si tie ceva de calculat.