Question

Fie mulţimea A = {1,2,3,..., 2020, 2021}. Arătaţi că există o unică pereche de submulţimi ale mulţimii A, fiecare având exact 673 de elemente, cu proprietatea că suma tuturor elementelor uneia dintre submultimi este de cinci ori mai mică decât suma elementelor celeilalte submultimi.
Va rog frumos niste ajutor cu problema asta, multumesc!​

Answer 1

Explicație pas cu pas:

cea mai mica suma a unei submultimi din A este 1+2+3+...+673=226.801 (primele 673 elemente). asta inseamna ca orice ALTA submultime am alege,suma elementelor sale e mai mare decat 226.801.

pe de alta parte, suma ULTIMELOR 673 de elemente din A este 2021+2020+...+1349=1.134.005. deci nu exista o alta submultime de 673 elemente din A cu suma mai mare.

1.134.005=5x226.801.

adica, exista o singura combinatie de 673 elemente cu suma minima 226801, si nu se poate extrage din A o submultime cu suma mai mare decat 1.134.005 (dar cu 1.134.005 exista - o unica submultime)

q.e.d.