Question

Fie multimea M={2^1,2^2,2^3,...,2^15}.Exista 3 multimi A,B,C nevide si disjuncte 2 cate 2 astfel incat AUBUC=M si cu produsul elementelor fiecarei multimi sa fie acceasi?Dar cu acceasi suma?

Answer 1

cu acelasi produs
presupunem ca exista o astfel de partitie;  fie P prosul elementelor fiecarei din cele 3 multimiA,B si C
atunci produsul tuturor elementelr multimi=P*P*P=P³ deci trebuie sa fie un cub perfect
Deci produsul tuturor elementelor lui M= produsul elementelor din  A * prod.elementelor din B * produsul  elementelor lui C
P³=2^1*2²*2³*...2^16=2^(1+2+...+15)=2^(15^16/2)=2^(8*15)=2^(120)= (2^40)³ cub perfect, deci DA, se poate


cu aceeasi suma;
suma 2+2²+2³+....2^15 = 1+2+2²+2³+....+2^15-1
 suma este (2^16-1)/(2-1) -1=65536-2=65534 care nu e divizibil cu 3, deci NU, nu se poate imparti in 3 multimi disjuncte asa fel incat suma aelentelor acestora sa fie egala