Question

Fie multimile:
A={$2^{0}$;$2^{0}+ 2^{1}$;$2^{0}+ 2^{1} + 2^{2}$;$2^{0} + 2^{1} + 2^{2} + 2^{3}$;...} si
B={$3^{0}$;$3^{0}+ 3^{1}$;$3^{0}+ 3^{1} + 3^{2}$;$3^{0} + 3^{1}+ 3^{2} + 3^{3}$;...}.
Determinati multimea A intersectat cu B.

Answer 1

Termenul general al primei multimi este:
$2^0+2^2+...+2^n=2^{n+1}-1$
iar termenul general al celei de a doua multime este:
$3^0+3^1+...+3^n= \frac{3^{n+1}-1}{2}$
Pentru a gasi elementele comune ale celor doua multimi trebuie sa determinam n astfel incat :
$2^{n+1}-1=\frac{3^{n+1}-1}{2}$
daca reprezentam grafic cele doua functii date de membrul stang si drept al egalitatii de mai sus vom constata ca singurele valori ale lui n pentru care are loc egalitatea de mai sus sunt -1 si 0. Pt n=-1 are loc egalitatea , insa nu obtine un element comun al celor doua multimi. In schimb pentru n=o=>deducem ca elementul 1 este unicul element al celor doua multimi. In concluzie:
$A \cap B=\{1\}.$