Question

Fie mulțimile A={ x/x = 5n + 8, n apartine N } si B={y/y = p la puterea 2, p apartine N }. Arătați că mulțimile A si B sunt disjuncte.

Answer 1

  Presupunem, prin reducere la absurd, ca cele doua multimi au (un) element(e) comun(e), mai exact, ca cele doua multimi nu sunt disjuncte.Rezulta ca exista z∈ A (intersectat cu) B astfel incat z = 5n+8 = p²≥0 (n∈N) ⇒ p=√5n+8 (5n+8 sub radical).Ultima cifra a numarului natural 5n+8 poate fi 8 sau 3, intrucat ultima cifra a numarului 5n poate fi 0 sau 5. (5+8=13).8 si 3 nu pot fi niciodata ultimile cifre ale unui patrat perfect ⇒ 5n+8 nu este patrat perfect ⇒ p=√5n+8 ∉ N. Contradictie ⇒ multimile A si B sunt disjuncte, adica A (intersectat cu) B = (multimea vida). (Am pus intre paranteze semnele pe care nu le am la dispozitie.)