Question

Fie n = 1234567891011...1997. Determinați cifra de pe locul 1997 și stabiliți dacă n se divide cu 3.

Answer 1

a)
Calculam cate cifre sunt de la 1 la 9 ==> 9 * 1 = 9 cifre
Calculam cate cifre sunt de la 10 la 99. Sunt 90 de numere de la 10 la 99 ==>  90 * 2 = 180 cifre
Calculam cate cifre sunt de la 100 la 999. Sunt 900 de numere de la 100 la 999 ==> 900 * 3 = 2700. Trece peste 1997 ==> Cifra de pe locul 1997 apartine unui numar de 3 cifre

Calculam numarul de cifre ramase de la 100, scazand cate cifre sunt de la 1 la 99 ==> 1997 - 9 - 180 = 1808

Impartim pe 1808 la 3 ca sa vedem carui numar ii aparine cifre de pe pozitia 1997 ==> 1808 : 3 = 602 rest 2 ==> Se ajunge pana la 602, si de acolo incepe noul numar: 603. A doua cifra este 0.

b)
Ca un numar sa fie divizibil cu 3, suma cifrelor lui ntrebuie sa fie divizibila cu 3:
$S=1+2+3+...+1997= \frac{1997*1998}{2}=1997*999=3(1997*333)$

Care este divizibil cu 3 ==> n este divizibil cu 3