Question

fie n=1x2x3x...,,x250+46 aratati ca n nu este patrat perfect

Answer 1

   
Numarul  1 × 2 × 3 × ... × 250 se termina in multe zerouri deoarece printre numerele care se inmultesc gasim:  10; 20; .. 100; 110; ... 200 si altele.

Nu vom calcula numarul de zerouri deoarece problema nu cere.
Daca la acest numar il adunam pe 46 obtinem un numar de forma:

$\overline{c_1c_2c_3 \hdots c_n0000 \hdots 000046}$

unde c₁, c₂, ...  sunt cifre diferite de zero.

Aplicam rationamentul urmator:
Un numar este patrat perfect daca atunci cand este descompus in factori primi, toti factorii primi sunt puteri cu exponent par.

Numarul nostru are ultimele cifre "46"
Rezulta ca este numar par adica unul din factorii primi ai lui este 2.
Acum verificam daca se divide cu 4.
Pentru a se divide cu 4, trebuie ca numarul format din ultimele doua cifre sa se divida cu 4, dar 46 nu se divide cu 4.
Dezulta ca orintre factorii primi ai numarului il gasim pe 2¹ (doi la puterea unu) si unu este impar.

Rezulta ca numarul NU este patrat perfect.